Message
Изображение №
© 2020-2024 МСЦ РАН
Выгодский Марк Яковлевич Основания исчисления бесконечно-малых. – 1931. – 452 с.
Предисловие
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I. Основные понятия интегрального исчисления
§ 1. Вводные замечания
§ 2. О способах задания линии
§§ 3—4. Основная задача вычисления площадей
§ 5. Идея интегрального исчисления
§§ 6 — 8. Площадь трапеции
§ 9. Параболическая трапеция
§ 10. Понятие об интеграле; две формулы интегрирования
§ 11. Постоянный множитель под знаком интеграла
§ 12. Бесконечно-тонкие полоски; математические абстракции и действительность
§ 13. Объем конуса
§ 14. Падение в пустоте
§ 15. Выкачивание воды из цилиндрического резервуара
§ 16. Площадь круга и объем шара
§§ 17—18. Логическое уточнение определения интеграла; точка зрения теории пределов. Преимущества классической концепции
§ 19. Интеграл произвольной целой положительной степени
§ 20. Интегрирование многочленов
§ 21. Дополнительные замечания о пределах интегрирования
§ 22. Вычисление площадей
§ 23. Вычисление объемов пирамиды и шара
§ 24. Объем параболоида вращения
§ 25. Объем „цилиндрического отрезка"
§ 26. Свободное падение с начальной скоростью
§ 27. Выкачивание воды из котла
§ 28. Выкачивание воды из конического резервуара
§ 29. Растяжение проволоки
§ 30. Удлинение проволоки от собственного веса
§ 31. Вычисление давления жидкости
Глава II. Интегрирование отрицательных и дробных степеней. Интегралы с переменным пределом.
§§ 1—3. Распространение формулы интегрирования степени на случай дробного и отрицательного показателя
§ 4. Замечания о пределах интегрирования
§ 5. Площадь параболы Нейля; площадь бесконечно-длинного шпиля
§ 6. Отталкивание электрических зарядов; запас работы
§ 7. Истечение жидкости из вертикальной щели
§§ 8—9. Истечение воды из дна цилиндрического сосуда
§§ 10—11. Интеграл с переменным верхним пределом
§ 12. Дифференциальное уравнение; разделение переменных
§ 13. Интегралы с переменным нижним пределом
§ 14. Истечение воды из воронки
§ 15. Истечение воды через пробоину в котле
§ 16. Адиабатное сжатие и расширение газа
Глава III. Интеграл (ф-ла)
§§ 1—4. Вывод формулы интегрирования; число е
§ 5. Натуральные логарифмы; их перевод в десятичные и обратно
§ 6. Случай отрицательных пределов
§ 7. Изотермическое сжатие воздуха
§ 8. Изотермическое расширение воздуха
§ 9. Распад радия
§ 10. Охлаждение металлического шара
§ 11. Барометрическая формула
Глава IV. Основные понятия дифференциального исчисления
§§ 1—3.Задача дифференциального исчисления
§§ 4—6. Дифференцирование линейной функции
§ 7. Дифференциальное отношение
§§ 8—10. Дифференциал квадратной функции
§ 11. Производная функция
§§ 12—14. Дифференциал произвольной степени
§ 15. Обозначения
§ 16. Постоянный множитель под знаком дифференциала
§ 17. Дифференцирование многочленов
§ 18. Дифференциальное исчисление с точки зрения теории пределов. Формализация понятий бесконечно-малой величины и дифференциала
§ 19. Скорость свободного падения
§ 20. Длина окружности и поверхность шара
§ 21. Натяжение проволоки
§ 22. Отталкивание электрических зарядов
§ 23. Формула Пуассона
§ 24. Истечение жидкости из цилиндрического сосуда
§ 25. Теплоемкость
§ 26. Коэффициент расширения линейный и объемный
§§ 27—28. Угол наклона кривой к горизонту
§ 29. Угол, образованный кривыми линиями
§ 30. Параболический прожектор
§§ 31—32. Уравнение касательной
§ 33. Свойство касательных параболы
§ 34. Свойство касательных гиперболы
§§ 35—37. Максимальные и минимальные значения функций
§ 38. Способ разыскания максимумов и минимумов
§§ 39—40. Прямоугольник наибольшей площади: коробка наибольшего объема
§ 41. Наивыгоднейшая скорость пароходного рейса
§ 42. Наивыгоднейшая форма банки
§ 43. Дополнительные замечания о максимальных и минимальных значениях функции
Глава V. Дифференцирование и интегрирование через вспомогательную переменную
§ 1. Вводные замечания
§ 2. Дифференцирование через вспомогательную функцию
§ 3. Вычисление производной с помощью вспомогательной функции
§ 4. Наименее освещенная точка
§ 5. Наименьшее расстояние между судами
§ 6. Подъем рельса краном
§§ 7—8. Дифференциал произведения и частного
§ 9. Производная произведения и частного
§ 10. Наибольшее нагревание внешней цепи
§ 11. Наилучшее освещение на краях стола
§ 12. Относительная и абсолютная ошибка произведения и частного
§ 13. Интегрирование через вспомогательную функцию
§ 14. О выборе вспомогательной функции
§ 15. Растворение бензойной кислоты в воде
§ 16. Изменение концентрации кислорода
§ 17. Разбавление рассола
§ 18. Давление воды на полукруг
§ 19. Изменение силы тока при замыкании цепи (экстра-ток)
§ 20. Спрямление параболы Нейля
§ 21. Спрямление астроиды
Глава VI. Процессы дифференцирования и интегрирования в их взаимной связи
§ 1. Вводные замечания
§§ 2—5. Дифференциал интеграла
§§ 6—7. Дифференцирование логарифмической функции
§§ 8—9. Дифференциал показательной функции
§ 10. Интеграл дифференциала
§ 11. Интегрирование показательной функции
§ 12. Две перспективы развития техники исчисления бесконечно-малых. Интегрирование через обращение формул дифференциального исчисления
§ 13. Неопределенный интеграл
§ 14. Техника неопределенного интегрирования
§ 15. Интегрирование рациональных дробей, знаменатели которых разлагаются на линейные множители; метод неопределенных коэффициентов
§ 16. Дополнительные замечания о вычислении определенных интегралов
§§ 17—18. Спрямление параболы; поверхность, образованная вращением параболы
§ 19. Поверхность вращения параболы Нейля
§ 20. Спрямление архимедовой спирали
§ 21. Спрямление логарифмической спирали; свойства касательной логарифмической спирали
§ 22. Скорость химических реакций
§ 23. Омыление уксусноэтилового эфира; подсчет времени
§ 24. Подсчет концентрации
§ 25. Случай равных концентраций
§§ 26—27. Тримолекулярная реакция
§ 28. Основные законы механики движущегося тела
§ 29. Движение моторной лодки
§ 30. Полет пули через доску
§§ 31—32. Спуск на парашюте
§ 33. Производные второго и высших порядков
§§ 34—35. Выражение второй производной через дифференциалы
§ 36. Вторые дифференциалы; вторая производная как предел отношения
§§ 37—38. Выражение второй производной в случае, когда дифференциал аргумента остается постоянным; обозначения высших производных
§ 39. Приближенные вычисления второй производной; обмен ролями аргумента и функции
§ 40. Сила, действующая на ползун паровой машины. Вычисление силы сопротивления среды по закону движения тела
Глава VII. Дифференцирование и интегрирование тригонометрических функций
§ 1. Вводные замечания
§ 2. Радиальное измерение углов
§ 3. Дифференциал синуса
§ 4. Дифференциал косинуса
§ 5. Дифференциалы других тригонометрических функций
§§ 6—7. Основные формулы интегрирования тригонометрических функций
§§ 8—9. Приемы интегрирования тригонометрических функций
§§ 10—11. Интегрирование по частям
§ 12. Обратные тригонометрические функции
§§ 13—16. Дифференцирование обратных тригонометрических функций
§ 17. Обращение формул дифференцирования тригонометрических функций
§ 18. Об интегрируемости в элементарном виде
§ 19. Интегрирование рациональных дробей, знаменатели которых имеют мнимые корни
§ 20. Интегрирование выражений, содержащих квадратный корень, из многочлена второй степени
§§ 21—23. Кривизна плоской линии
§ 24. Радиус кривизны
§ 25. Циклоида и ее свойства
§ 26. Циклоидальный маятник
§ 27. Движение в переменном поле тяготения
Приложение