Message
Изображение №
© 2020-2024 МСЦ РАН
Александров Павел Сергеевич, Колмогоров Андрей Николаевич Введение в теорию функций действительного переменного. – 1933. – 270 с.
Часть первая
Глава первая. О бесконечных множествах
§ 1. Понятие множества
§ 2. Взаимно однозначное соответствие множеств
§ 3. Операции над множествами
§ 4. Теоремы о счетности множеств
Глава вторая. Действительные числа
§ 1. Дедекиндовское определение иррационального числа
§ 2. Упорядоченность множества действительных чисел
§ 3. Сечения во множестве действительных чисел
§ 4. Геометрическое изображение действительных чисел
§ 5. Верхняя и нижняя грани точечного множества
§ 6. Действия над действительными числами
§ 7. Разложение действительных чисел в бесконечные десятичные дроби
§ 8. Несчетность множества всех действительных чисел
Глава третья. О предельных точках множеств
§ 1. Определение и примеры предельных точек
§ 2. Основные определения теории точечных множеств. Теорема Больцано—Вейерштрасса
§ 3. Сходящиеся множества
§ 4. Сходящиеся последовательности
§ 5. Производные множества и замыкания
§ 6. Точки конденсации
Глава четвертая. Строение замкнутых множеств
§ 1. Канторово совершенное множество
§ 2. Произвольные замкнутые множества
§ 3. Области и внутренние точки
§ 4. Канторово множество как прототип всех совершенных разрывных множеств
Глава пятая. Непрерывные функции
§ 1. Определение и примеры непрерывных функций
§ 2. Элементарные свойства непрерывных функций
§ 3. Простейшие примеры разрывных функций
§ 4. Пределы переменных величин
§ 5. Последовательности функций
Часть вторая
Глава шестая. Измеримые множества и измеримые функции
§ 1. Дальнейшие свойства замкнутых множеств
§ 2. Теорема Бореля—Лебега
§ 3. Понятие меры множества. Измеримые множества
§ 4. Основные теоремы о мере множеств
§ 5. Теорема Витали
§ 6. Некоторые замечания о так называемых В- и А-множествах
§ 7. Измеримые функции
Глава седьмая. Интегралы Римана и Стилтьеса
§ 1. Интеграл Римана
§ 2. Верхний и нижний интегралы
§ 3. Первое условие интегрируемости по Риману
§ 4. Условие Лебега
§ 5. Примеры из теории вероятностей и механики
§ 6. Интегралы Стилтьеса
§ 7. Функции с ограниченным изменением и монотонные функции
§ 8. Основные свойства интеграла Стилтьеса
Глава восьмая. Производная
§ 1. Множество точек существования производной
§ 2. Примеры разрывных производных
§ 3. Определение примитивной по производной
§ 4. Производная неопределенного интеграла Римана
§ 5. Правая и левая производная
§ 6. Производная принимает все промежуточные значения
§ 7. Верхняя и нижняя производная
Глава девятая. Интеграл Лебега
§ 1. Вводные замечания
§ 2. Определение интеграла Лебега для ограниченных функций
§ 3. Связь с интегралом Римана
§ 4. Дальнейшие свойства интеграла Лебега
§ 5. Неопределенный интеграл и отыскание примитивных
§ 6. Интегрирование последовательностей
§ 7. Сведение интегрирования разрывных функций к интегрированию непрерывных
§ 8. Производная неопределенного интеграла Лебега
§ 9. Точки плотности измеримого множества
§ 10. Диференцируемость функций, удовлетворяющих условию Липшица
§ 11. Интеграл Лебега для неограниченных функций
Указатель
ОГЛАВЛЕНИЕ