Message
Изображение №
© 2020-2024 МСЦ РАН
Канторович Леонид Витальевич Методы приближенного решения уравнений в частных производных. – 1936. – 528 с.: табл.
Глава I. МЕТОДЫ, ОСНОВАННЫЕ НА ПРЕДСТАВЛЕНИИ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА
§ 1. Метод Фурье
1. Задача Дирихле для прямоугольника
2. Фундаментальные функции задачи. Общие замечания о методе Фурье
3. Задачи Дирихле и Неймана для кольца в случае уравнения Лапласа
4. Пример бигармонической проблемы
§ 2. Бесконечные системы уравнений
1. Основные определения
2. Вполне регулярные системы
3. Приближенное решение вполне регулярных систем
4. Общие теоремы о регулярных системах
5. Некоторые дополнения к теории регулярных систем
6. Краткий обзор других исследований, относящихся к бесконечным системам
§ 3. Решение граничных задач с помощью неортогональных рядов
1. Общие принципы
2. Решение задачи о разложении произвольной функции по наперед заданным функциям с помощью ортогонализации
3. Решение задачи о разложении произвольной функции по наперед заданным с помощью бесконечных систем уравнений
4. Пример 1. Смешанная граничная задача для уравнения Лапласа
5. Пример 2. Расчет защемленной пластинки
§ 4. Применение двойных рядов для решения граничных задач
1. Постановка задачи. Основания метода
2. Уравнение Пуассона для прямоугольника
3. Применение к уравнениям четвертого порядка
§ 5. Улучшение сходимости рядов, получаемых при решении
1. Общие принципы, на которых основаны методы улучшения сходимости; простейшие примеры
2. Метод улучшения сходимости тригонометрических рядов акад. А.Н.Крылова
3. Ряды Фурье с усиленной сходимостью
4. Общие методы улучшения сходимости при приближенном решении граничных задач
Глава II. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА.
§ 1. Замена интегрального уравнения системой линейных уравнений
1. Основные определения
2. Замена интегрального уравнения на конечную систему линейных уравнений
3. Оценка погрешности, получающейся в результате замены интегрального уравнения системой линейных уравнений
4. Пример
§ 2. Метод последовательных приближений и аналитическое продолжение
1. Метод последовательных приближений
2. Применение аналитического продолжения для приближенного решения интегральных уравнений
§ 3. Применение интегральных уравнений к решению задачи Дирихле
1. Интегральные уравнения теории потенциала
2. Метод К.Неймана
3. Пример
§ 4. Решение интегральных уравнений с помощью замены ядра на алгебраическое. Метод Бэтмена
1. Интегральное уравнение с алгебраическим ядром
2. Замена произвольного ядра на алгебраическое
3. Пример
4. Оценка погрешности Трикоми (Tricomi)
5. Метод Бэтмена (Bateman)
ГЛАВА III. МЕТОД СЕТОК
§ 1. Выражение производных через разности функции. Приближенное выражение оператора Лапласа
§ 2. Уравнения эллиптического типа и соответствующие им уравнения в конечных разностях
1. Уравнения в конечных разностях
2. Предельные условия
3. Уравнение Дельта Дельта u = f(x,y)
§ 3. Решение уравнений в конечных разностях
1. Существование и единственность решения
2. Метод последовательного исключения
3. Метод последовательных приближений
4. Решение уравнений (8), (9), (10) п.2.
§ 4. Оценка погрешности. Сходимость процесса
Глава IV. ВАРИАЦИОНЫЕ МЕТОДЫ
§ 1. Уравнения эллиптического типа и соответствующие им вариационные задачи
1. Основная задача
2. Обобщение основной задачи
3. Экстремальные свойства собственных чисел и функций
§ 2. Метод Ритца
1. Последовательные приближения
2. Метод Ритца
3. Приложение к нахождению собственных чисел и функций
4. Замечание о вычислении собственных чисел
§ 3. Приведение к системе обыкновенных диференциальных уравнений
1. Идея метода и его приложение к интегрированию уравнений
2. Исправление результатов вычислений
3. Приложение к собственным числам и функциям
§ 4. Метод наименьших квадратов
1. Средняя квадратичная погрешность
2. Минимизация при помощи линейных комбинаций
3. Приведение к системе обыкновенных уравнений
4. Приложение к собственным числам и функциям
Глава V. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОБЛАСТЕЙ
§ 1. Введение
1. Конформное преобразование и уравнение Лапласа
2. Преобразование односвязных областей
3. Преобразование многосвязных областей
§ 2. Метод Бибербаха
1. Экстремальное свойство функции, преобразующей область на круг
2. Приложение метода Ритца
3. Минимизация при помощи полиномов
4. О сходимости последовательных приближений
5. Внешние области
§ 3. Метод конформного преобразования, аналогичный методу Бибербаха
1. Экстремальное свойство преобразующей функции
2. Применение метода Ритца
3. Преобразование внешних областей
§ 4. Ортогональные полиномы и конформное преобразование
1. Полиномы Сеге
2. Приложение к конформному преобразованию
3. Полиномы Бохнера — Бергмана
4. Приложение к конформному преобразованию
§ 5. Разложение в ряд по степеням малого параметра в случае преобразования области в круг
1. Приведение к системам уравнений
2. Метод последовательных приближений
3. Конформное преобразование внешних областей
§ 6. Разложение в ряд по степеням малого параметра в случае преобразования круга на область
1. Нормальное представление контура
2. Метод бесконечных систем
3. Примеры
4. Замечание о вычислениях. Примеры
5. Метод последовательных приближений для областей, близких к кругу
6. Метод последовательных приближений для областей, близких к таким, конформное преобразование круга на которые известно
7. Метод последовательных приближений для кривых, заданных в параметрической форме
8. Доказательство сходимости процесса последовательных приближений
9. Замечания о преобразовании внешних областей
§ 7. Метод Мелентьева приближенного конформного преобразования
1. Алгорифм последовательных приближений
2. Выбор первого приближения. Схема вычислений
3. 0б отображении внешних областей
4. Случай симметричных областей
5. Конформное преобразование двусвязных областей
§ 8. Функция Грина и конформное преобразование
§ 9. Приложение интегральных уравнений к конформному преобразованию
1. Интегральное уравнение для преобразования внутренних областей
2. Замечания о решении интегрального уравнения
3. Интегральное уравнение для преобразования внешних областей
4. Преобразование двусвязной области на круговое кольцо
5. Преобразование области на плоскость с разрезами
§ 10. Отображение полуплоскости на многоугольник
1. Вывод формулы Кристоффеля — Шварца
2. Замечание о постоянных в интеграле Кристоффеля — Шварца
3. О методе Ньютона для системы уравнений и вычислении несобственных интегралов
4. Примеры
5. Отображение произвольного четырехугольника
Глава VI. ПРИНЦИПЫ ПРИЛОЖЕНИЯ КОНФОРМНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И РЕШЕНИЕ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ КАНОНИЧЕСКИХ ОБЛАСТЕЙ
§ 1. Введение
1. О преобразовании оператора Лапласа
2. Преобразование бигармонического оператора. Формула Гурса. Связь бигармонических функций с плоской задачей теории упругости
3. Преобразование предельных условий
4. Интегралы типа Коши. Их вычисление
§ 2. Задача Дирихле
1. Интеграл Пуассона
2. Интеграл Пуассона для внешности круга
3. Задача Дирихле для полуплоскости
4. Задача Дирихле для кольца
5. Формула Шварца. Нахождение сопряженной гармонической функции
§ 3. Задача Неймана
1. Формула Дини
2. Внешность окружности
3. Задача Неймана для полуплоскости
4. Задача Неймана для кольца
§ 3. Общая предельная задача для гармонических функций
1. Постановка задачи. Случай постоянных коэффициентов в предельном условии
2. Задача Гильберта
3. Общая предельная задача
§ 4. Основные задачи для бигармонических функций
1. Первая основная задача. Приведение к системе уравнений
2. Вторая основная задача. Приведение к системе уравнений
3. Первая основная задача. Приведение к функциональным уравнениям
4. Вторая основная задача. Приведение к функциональным уравнениям
ОГЛАВЛЕНИЕ