Message
Изображение №
© 2020-2024 МСЦ РАН
Гельфанд Израиль Моисеевич, Фомин Сергей Васильевич Вариационное исчисление. – 1961. – 228
Предисловие
Глава 1. Функционалы. Простейшая задача вариационного исчисления
§ 1. Введение
§ 2. Функциональные пространства
§ 3. Дифференциал функционала. Необходимое условие экстремума
§ 4. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера
§ 5. Случай нескольких переменных. Задача со свободными концами
§ 6. Вариационная производная. Инвариантность уравнения Эйлера
Глава II. Некоторые обобщения простейшей задачи. Условный экстремум
§ 7. Задача с закрепленными концами в случае n неизвестных функций
§ 8. Вариационные задачи в параметрической форме
§ 9. Функционалы, зависящие от производных высших порядков
§ 10. Изопериметрическая задача. Условный экстремум
Глава III. Основная формула для вариации функционала. Задачи с подвижными концами
§ 11. Основная формула для вариации функционала
§ 12. Задача с подвижными концами
§ 13. Случай не гладких экстремалей. Условия Вейерштрасса — Эрдмана
Глава IV. Канонический вид уравнений Эйлера. Вариационные принципы. Законы сохранения. Уравнение Гамильтона— Якоби
§ 14. Канонический вид уравнений Эйлера. Первые интегралы
§ 15. Преобразование Лежандра. Канонические преобразования
§ 16. Связь между инвариантностью интеграла и первыми интегралами уравнений Эйлера (теорема Нетер)
§ 17. Принцип наименьшего действия
§ 18. Законы сохранения
§ 19. Уравнение Гамильтона — Якоби. Теорема Якоби
Глава V. Вторая вариация. Достаточные условия слабого экстремума
§ 20. Квадратичные функционалы. Вторая вариация функционала
§ 21. Формула для второй вариации. Условие Лежандра
§ 22. Исследование квадратичного функционала
§ 23. Сопряженные точки. Необходимое условие Якоби
§ 24. Достаточные условия слабого экстремума
§ 25. Условия Якоби для функционалов, зависящих от нескольких функций
§ 26. Связь условий Якоби с теорией квадратичных форм в конечномерном пространстве
Глава VI. Теория поля. Достаточные условия сильного экстремума
§ 27. Согласованные граничные условия. Общее определение поля
§ 28. Поле функционала
§ 29. Инвариантный интеграл Гильберта
§ 30. Функция Вейерштрасса. Достаточные условия сильного экстремума
Глава VII. Вариационные задачи с частными производными
§ 31. Основная формула для вариации функционала в случае фиксированной области
§ 32. Вариационный вывод уравнений колебаний струны, мембраны и пластинки
§ 33. Основная формула для вариации в случае переменной области. Теорема Нетер
§ 34. Принцип стационарного действия для полей. Законы сохранения
§ 35. Примеры: уравнение Клейна — Гордона и уравнение Максвелла
Глава VIII. Прямые методы вариационного исчисления. Вариационные методы в задаче Штурма — Лиувилля
§ 36. Понятие о прямых методах вариационного исчисления
§ 37. Метод Ритца и метод ломаных
§ 38. Собственные функции и собственные значения краевой задачи Штурма — Лиувилля
Дополнение I. Распространение возбуждения и канонические уравнения
Дополнение II. Вариационные методы в задачах об оптимальном регулировании