Александр Юльевич Ишлинский родился 24 июля (6 августа) 1913 года в Москве. 

Происходил из старинной дворянской семьи. Предки Ишлинских жили в Литве, в родовом имении Ишлины, на Жямайтской возвышенности близ Пошиле. Отец – Юлий Эдуардович был морским офицером. Во время русско-японской войны служил машинным квартирмейстером крейсера "Богатырь" и был лишён дворянского звания за участие в Кронштадтском восстании (в октябре 1905 года). Мать – Софья Ивановна Кириллова была модисткой в шляпном ателье. 

Интерес к науке у Александра проявился ещё в школьные годы, особенно сильным было увлечение радиотехникой. Уже в 1926 году вышла первая его статья "Штепсель для переключения на длинные и короткие волны" (журнал "Новости радио", 1926 год). В 1928 году, сразу после окончания семилетней школы, он поступил на электротехнические курсы, затем – в Московский электромеханический техникум имени Л.Б. Красина, который успешно закончил в 1930 году, после чего остался там на преподавательской работе, сначала в должности заведующего кабинетом технического черчения, а с 1931-го по 1938 год – преподавателя техникума. В 1931 году А.Ю. Ишлинский, изучив экстерном программу первого курса, поступил сразу на второй курс Физико-математического факультета Московского Государственного университета имени М.В. Ломоносова, преобразованного в 1933 году в Механико-математический факультет, который  окончил в 1935 году. Его дипломная работа называлась "Задача об эластике" (руководитель  – профессор М.М. Филоненко-Бородич). В 1938 году Александр Юльевич защитил диссертацию по теме "Трение качения" (о движении катка по релаксирующему и вязкопластическому грунту) и получил степень кандидата физико-математических наук. В этом же году он был оставлен в университете для работы в должности доцента кафедры Теории упругости. Параллельно он вёл преподавательскую деятельность - преподавал во многих высших учебных заведениях Москвы: МВТУ имени Н.Э. Баумана, МЭИ, Автомеханическом институте, Педагогическом институте имени К. Либкнехта, Военно-инженерной Академии имени В. В. Куйбышева.

В 1943 году А. Ю. Ишлинский успешно защитил диссертацию на соискание учёной степени доктора физико-математических наук по теме "Механика не вполне упругих и вязкопластических тел". С 1944 года он стал профессором Московского университета. В 1943–1945 годах он являлся Заведующим кафедрой Теоретической механики в Московском военно-инженерном училище. В 1945–1946 годах Александр Юльевич работал в должности старшего научного сотрудника Института механики Академии наук СССР.

В 1947 году А.Ю. Ишлинский по приглашению Академика М.А. Лаврентьева  переехал в Киев, где в 1948 году был назначен директором Института математики АН УССР (руководил им до 1955 года), и затем был избран действительным членом Академии наук Украинской ССР. Он установил широкие связи возглавляемого им института  с приборостроительными организациями Москвы, Ленинграда, Киева. Под руководством А.Ю. Ишлинского  получили развитие новые направления прикладных научных исследований, были созданы новые отделы, в том числе, Отдел общей механики. С 1949-го по 1955 гг. он также являлся профессором кафедры Теории упругости механико-математического факультета Киевского государственного университета имени Т. Г. Шевченко. Таким образом, возникла Киевская школа механиков – специалистов по гироскопам и системам инерциальной навигации. 

Александр Юльевич не был кабинетным учёным. Летом 1955 года он лично принял участие в экспедиции к Земле Франца-Иосифа для проверки работы навигационных приборов в северных широтах. По результатам наблюдений им была создана теория двухроторного гироскопического гирогоризонткомпаса.

В 1955 году А.Ю. Ишлинский вернулся в Москву и был назначен на должности Директора Института механики МГУ и Научного руководителя НИИ-944 Государственного комитета СССР по судостроению (ныне – Филиал ФГУП "ЦЭНКИ" – "Научно-исследовательский институт прикладной механики имени Академика В.И. Кузнецова").

С 1950 года А. Ю. Ишлинский принимал активное участие в осуществлении ракетно-космических программ СССР. Он был постоянным членом Государственных комиссий при подготовке и проведении большинства лётных испытаний межконтинентальных баллистических ракет, первых запусков искусственных спутников Земли и других космических аппаратов на созданном в 1955 году космодроме Байконур. Наиболее тесно он сотрудничал с членами Совета Главных конструкторов ракетно-космической техники Н.А. Пилюгиным и В.И. Кузнецовым.

Под его руководством были проведены исследования в области теории гироскопии и общих вопросов инерциальных систем управления. Исследования А.Ю. Ишлинского позволили создать теорию управления баллистическими ракетами.

С 1956 года А.Ю. Ишлинский – заведующий кафедрой Прикладной механики МГУ, позднее переименованной в кафедру Прикладной механики и процессов управления. Здесь он создал оригинальный, ставший классическим, годовой спецкурс "Основной курс теории гироскопов" и организовал спецсеминар, который продолжает работу и в настоящее время, и с 2003 года носит имя академика А.Ю. Ишлинского.

В 1965 году А.Ю. Ишлинский стал директором вновь созданного Института проблем механики Академии наук СССР (с 1992 года ИПМ РАН). Под его руководством институт стал крупнейшим научным центром страны в области механики. Уйдя в 1990 году с поста директора, Александр Юльевич до последнего дня жизни оставался его почётным директором.

А. Ю. Ишлинский – автор фундаментальных исследований в области механики сплошной среды, динамики твёрдого тела, гироскопии и инерциальной навигации, создавший новые направления в тех разделах науки, которым он посвятил свой талант учёного и инженера.
В своем научном творчестве Александр Юльевич неоднократно возвращался к осмыслению научных достижений, к истории и методологии механики. Две его монографии специально посвящены основополагающим понятиям механики. Это "Механика относительного движения и силы инерции" (1981) и "Классическая механика и силы инерции" (1987).
Ему принадлежит ряд обзорных статей и докладов, часть из которых собрана в книге "Механика: идеи, задачи, приложения" (1985). Круг вопросов, рассматриваемых в этой книге, весьма разнообразен; это – и история развития механики, размышления о достижениях, проблемах и ее месте среди других естественных наук. Книга содержит замечательный очерк о Галилео Галилее, очерки об ушедших современниках, написанные с глубоким уважением к личностям и их научным достижениям. Для историко-методологических работ Александра Юльевича было характерно глубокое проникновение в суть обсуждаемых явлений, стремление дать полную и объективную историю вопроса.

Большое значение придавал А. Ю. Ишлинский вопросам высшего технического образования в стране. В 1964 году по его инициативе был создан Научно-методический совет по теоретической механике при Министерстве высшего и среднего специального образования СССР, а в 1965 году Александр Юльевич занял пост Председателя этого Совета, возглавляя его затем в течение многих лет (в последние годы своей жизни он являлся Почётным председателем Совета). Совет координировал научную и методическую деятельность кафедр теоретической механики вузов страны, регулярно проводил совещания-семинары заведующих кафедрами, студенческие олимпиады, издавал "Сборник научно-методических статей по теоретической механике". Руководя работой Совета, он всегда подчёркивал и отстаивал исключительную роль теоретической механики как базовой фундаментальной дисциплины, борясь с многочисленными попытками сократить её преподавание или даже вовсе исключить её из вузовских программ.

Наряду с научной и инженерно-технической деятельностью Александр Юльевич вёл большую издательскую работу. Он являлся Главным редактором журнала "Известия РАН: Механика твёрдого тела", Главным редактором ряда периодических изданий, сборников и книг, членом редколлегий различных журналов.

10 июня 1960 года, минуя ступень члена-корреспондента, Александр Юльевич Ишлинский был избран Действительным членом АН СССР по Отделению технических наук (по специальностям "механика" и "автоматика"). В этом же году он был избран Действительным членом Академии наук Украинской ССР. В 1963–1970 годах А.Ю. Ишлинский являлся заместителем Академика-секретаря Отделения механики и процессов управления АН СССР. В 1986 году он был избран действительным членом Инженерной академии Российской Федерации, в создании которой принимал личное участие. 

Он также являлся: заместителем Председателя Национального комитета СССР по теоретической и прикладной механике, членом Генеральной ассамблеи (с 1976 года) и членом Бюро (в 1984–1988 годах) Международного союза теоретической и прикладной механики (IUTAM), Президентом Всесоюзного совета научно-технических обществ (в 1970-1991 годах), Почётным президентом Российской инженерной Академии (с 1990 года), Вице-президентом (с 1971 года), Президентом (в 1987–1991 годах) и затем Почётным президентом Всемирной федерации инженерных организаций, Вице-президентом Всемирной Федерации научных работников.

Научная деятельность А.Ю. Ишлинского получила широкое международное признание. Он являлся членом Международной Академии астронавтики, Почётным членом Международной Академии истории науки в Париже (с 1981 года), иностранным членом Академий наук Польши (с 1977 года) и Чехословакии (также с 1977 года), членом-корреспондентом Королевской инженерной Академии Великобритании (с 1988 года), Мексиканской инженерной Академии (с 1977 года) и Национального географического общества США (с 1966 года).

 Александр Юльевич Ишлинский был удостоен Ленинской премии "За разработку космической ракеты для исследования Луны". За выдающиеся заслуги в развитии науки и техники был награжден различными орденами и медалями СССР и России.