Эйлер Леонард (Euler Leonhard), (1707–1783), родился в Базеле (Швейцария) в семье пастора. Его отец, человек широко образованный, в молодости занимался математикой и механикой у Якоба Бернулли и дал сыну хорошую подготовку к университету по этим дисциплинам, а также по богословию и философии.

В 1720–1724 гг. Леонард Эйлер учился в Базельском университете, где занимался математикой у Иоганна Бернулли (брата Якоба Бернулли), впоследствии иностранного почетного члена Петербургской АН. Кроме обычных занятий, И. Бернулли по субботам вел регулярные беседы с Эйлером, которые оказали на его ученика большое влияние. В конце 1723 г. Эйлер по настоянию отца стал заниматься богословием и философией, но скоро целиком переключился на математику, и в 1724 г. речь Эйлера, посвященная сравнению философии Декарта и Ньютона, уже показала его знания и послужила тому, что он был удостоен ученой степени магистра искусств.

В 1725 г. два друга Эйлера, сыновья его учителя Иоганна Бернулли, Николай и Даниил, приняли приглашение Петербургской академии наук (впоследствии оба – академики Петербургской АН, а Даниил, к тому же, иностранный почетный член Петербургской АН, член Болонской, Берлинской, Парижской АН, Лондонского королевского общества). Эйлер решил поехать вместе с ними.

В 1726 году Эйлера, по рекомендации братьев Бернулли, пригласили в Петербургскую АН, и с 1727 года по 1741, а затем с 1766 года до конца дней он трудился в России. Хорошие условия жизни и работы способствовали тому, что Эйлер смело брался за решение масштабных задач, ставших впоследствии классическими.

В только что организованной академии Эйлер нашёл благоприятные условия для научной деятельности, что позволило ему сразу же приступить к занятиям математикой и механикой. Эйлер участвовал во многих направлениях деятельности Петербургской АН. Он читал лекции студентам академического университета, участвовал в различных технических экспертизах, работал над составлением карт России, написал общедоступное «Руководство к арифметике» (нем. изд. 1738–1740, рус. пер. ч. 1–2, 1740). По специальному поручению Академии Эйлер подготовил к печати «Морскую науку» (ч. 1–2, 1749) – фундаментальный труд по теории кораблестроения и кораблевождения.

В 1726–1727 гг. Эйлер в журнале «Acta eruditorum» опубликовал свои первые научные работы, посвященные задачам об изохроне в сопротивляющейся среде и о траекториях. Он принял участие в конкурсе работ о лучшем расположении мачт на корабле. Его сочинения публиковались в журнале Академии «Commentarii Academiae imperatoriae scientiarum petropolitanae» (последний несколько раз изменял название). С 1726 г. он стал действительным членом Петербургской АН. В 1742 г. – иностранным почетным членом АН.

Женился он в 1733 г. в Петербурге. Здесь же родились его сыновья, старший стал, как и отец, математиком, физиком и астрономом, средний – врачом, младший пошел в военную службу, принял участие в астрономической экспедиции 1769 г., служил в армии, дослужился до чина генерал-лейтенанта и закончил карьеру директором оружейного завода в Сестрорецке.

Эйлер был швейцарец. Вопросы языковой совместимости перед ним не стояли, как и перед многими учеными его времени. В XVIII веке языком науки был латинский, и свои труды Эйлер публиковал преимущественно на нем, независимо от того, где он жил. Кроме родного немецкого, он знал французский и английский языки. Он перевел с английского на немецкий «Новые принципы артиллерии» Б. Робинса (1745). В дополнениях к этой книге и в одном из мемуаров («Ученые записки») он развил учение о движении круглого снаряда в воздухе.

Таким образом, начав свою научную жизнь с чистой математики, он легко перешел к ее практическому применению в физике, механике, астрономии.

Долгое время живя в Петербурге и общаясь с русскими коллегами, он изучил русский язык. Он понимал значение перевода в распространении научных идей. Его собственные труды были переведены (частично – им же) на немецкий, французский, русский, английский и другие европейские языки. Часть прижизненных изданий, предназначавшихся для русских читателей, в т. ч. учащихся, вышла на русском языке: «Руководство к арифметике», 1740 г., второе издание – 1760 г., «Морская наука» (см. ниже), 2 ч., сокращенный авторский перевод на французский язык – 1773 г.; русский перевод сокращенного варианта (М.Е. Головина) – 1778 г. В различное время в разных странах были изданы полные собрания его сочинений на языках издающих стран.

За 14 лет первого петербургского периода жизни Эйлер подготовил к печати около 80 трудов и опубликовал свыше 50. Эйлер придавал большое значение своей связи с Россией. Позже, на вопрос Фридриха II Прусского, где он получил свои знания, Эйлер отвечал, что всем обязан своему пребыванию в Петербургской академии.

В 1738 г. с Эйлером случилось несчастье – он потерял правый глаз. Тем не менее, его работа продолжалась с неизменной интенсивностью. Неопределенность положения в России, вызванная правлением Анны Леопольдовны (конец 1740 – конец 1741 гг.), вынудила его подумать о переезде в Германию, где организовывалась Берлинская академия наук. Тем не менее, работа его для АН России, в том числе, в академическом журнале, не прекратилась и тогда, когда в 1741 г. он формально прервал свою деятельность в Петербургской академии, приняв предложение прусского короля Фридриха II о переезде в Берлин.

В Берлине ему была предоставлена работа по полной реорганизации Берлинской академии наук. В Академии он занял пост директора класса математики и члена правления. Одновременно он продолжал исследования по математике, механике и прикладным наукам. За время работы в Берлинской академии (25 лет), он подготовил около 300, в том числе больших монографических работ.

Все это время он был в гуще европейской научной жизни: участвовал в научных дискуссиях, переводил на немецкий и др. языки свои и чужие труды, работал над мемуаром по вопросам баллистики, консультировал работы по проведению канала между Хавелем и Одером, водоснабжению королевского дворца Сан-Суси, по организации лотерей. В это же время он заложил основы теории турбин, внес вклад в оптическую технику, дав научные основы устранения оптической аберрации. Он изучал вопросы практической механики, разработав целесообразную форму зубчатых передач, изучал устройство ветряных мельниц. Ценный вклад внес Эйлер в учение о сопротивлении материалов, где его имя носит формула критической нагрузки колонн.

Все созданные им работы носили пионерский характер и не потеряли своей ценности до настоящего времени. Эйлер стал родоначальником множества направлений точных наук, разработал и ввел в употребление большое количество теорий, методов, теорем, уравнений, формул, выражающих физические, механические, акустические и другие процессы и явления. Впоследствии большая часть трудов Эйлера вошла в учебники и руководства для высшей и даже средней школы. Невозможно перечислить все доныне употребляемые теоремы, методы и формулы Эйлера, из которых только немногие фигурируют в литературе под его именем [см., например, Эйлера метод ломаных, Эйлера период, Эйлера подстановки, Эйлера постоянная, Эйлера уравнение, Эйлера уравнения (в гидромеханике), Эйлера формулы, Эйлера функция, Эйлера числа в математике, Эйлера число, Эйлера – Маклорена формула, Эйлера – Фурье формулы, Эйлерова характеристика, Эйлеровы интегралы, Эйлеровы углы].

С 1759 года, после смерти первого президента Мопертюи, Эйлер фактически принял руководство Берлинской академией.

Связь его с Петербургской академией все это время он не прерывал. Он сохранил не только звание ее почетного члена и пенсию, но и связи с учеными. Впрочем, он никогда не терял связи с коллегами, где бы они ни жили. Он поддерживал научную переписку с М.В. Ломоносовым (действительный член с 1742 г.), Д'Аламбером, Г. Лейбницем, Д. Бернулли, Х. фон Вольфом (иностранные члены Петербургской академии наук). Публикации его трудов в российских академических журналах продолжались без перерыва всю его жизнь. После его кончины публикация его трудов в разных странах продолжилась до нашего времени.

Когда его отношения с Фридрихом II совсем испортились, он принял решение вернуться в Россию. Король чинил ему всевозможные препятствия, но удержать Эйлера было невозможно. 17 (28) июля 1766 г. Эйлер вместе с семьей вернулся в Петербург. Несмотря на преклонный возраст и постигшую его почти полную слепоту, он до конца жизни продуктивно работал.

За 17 лет вторичного пребывания в Петербурге им было подготовлено около 400 работ, среди них несколько больших книг. Эйлер продолжал участвовать и в организационной работе Академии, и в проектах, рассматриваемых Академией. В 1776 он был одним из экспертов проекта одноарочного моста через Неву, предложенного И.П. Кулибиным, и из всей комиссии один оказал широкую поддержку проекту замечательного русского изобретателя.

За 1777 г. он вместе с Н.И. Фуссом подготовил почти 100 статей.

Заслуги Эйлера, как крупнейшего учёного и организатора научных исследований, получили высокую оценку ещё при его жизни. Помимо Петербургской и Берлинской академий, он состоял членом крупнейших научных учреждений: Парижской АН, Лондонского королевского общества и других научных учреждений.

Эйлер скончался в Петербурге от кровоизлияния в мозг и был похоронен на Смоленском кладбище. В 1837 г. Петербургская академия воздвигла на его могиле памятник. В 1956 г. его прах был перенесен в Ленинградский (Петербургский) некрополь.

Научные труды Эйлера и его роль в русской и мировой науке.

В России, как и в первое свое пребывание, он нашел понимание, заинтересованных и близких по духу коллег, широкую возможность публикации трудов, наконец, материальную обеспеченность.

Петербургская АН в то время была не только научным, но и учебным заведением, центром по подготовке научных кадров в России. Работа Эйлера в составе Академии всегда носила универсальный характер. Научная ее часть включала, главным образом, исследования в области математики и ее приложений: в механике, баллистике, астрономии, картографии, теории кораблестроения и управления кораблями. Последнее было выполнено по поручению Академии и получило наименование «Морская наука». В дальнейшем она была сокращена, и вышла как на русском, так и на французском языке, в качестве руководства для учащихся морских училищ (1773).

Отличительной чертой Эйлера была его высочайшая работоспособность и продуктивность его труда, несмотря на развивающуюся слепоту.

Педагогическое направление его трудов заключалось в чтении лекций для студентов, написании учебников, руководств и популярных изданий, в т. ч. «Руководства к арифметике», на немецком и русском языках, выдержавшего только во второй половине XVIII века 3 издания, «Универсальной арифметики», «Полного умозрения строения и вождения кораблей, сочиненного в пользу учащихся навигации» (СПб., 1778). В XVIII в., а отчасти, и в XIX в. огромную популярность приобрели общедоступные «Письма о разных физических и филозофических материях, писанные к некоторой немецкой принцессе...» (ч. 1–3, 1768–1774), которые выдержали свыше 40 изданий на 10 языках.

Эйлер редактировал математический отдел русского академического научного журнала, где опубликовал за это время почти столько же статей, сколько за 25 лет в «Мемуарах» Берлинской АН.

Он деятельно участвовал в подготовке русских математиков; в Берлин командировались для занятий под его руководством будущие академики С.К. Котельников, С.Я. Румовский и М. Софронов.

Большую помощь Эйлер оказывал Петербургской АН, приобретая для неё научную литературу и оборудование, ведя переговоры с кандидатами на должности в Академии и т.д.

Несмотря на целеустремленное изучение математики и механики, а также возможностей их применения в различных отраслях знания, Эйлера никак нельзя назвать узким специалистом. При изучении любых вопросов физики, акустики, оптики, механики, астрономии, картографии (Эйлер успешно работал над составлением карт России), а также кораблестроения, движения и управления кораблем, баллистики, теории музыки, он подходил к ним всесторонне, аналитически, как истинный энциклопедист.

В берлинский период (за 25 лет) Эйлер подготовил к печати около 300 работ, в том числе – монографических. В 40-х – 50-х годах он также вел активную научную деятельность.

Одна из отличительных сторон творчества Эйлера – его исключительная

продуктивность. Только при жизни Эйлера было опубликовано около 550 его книг и статей (список трудов Эйлера содержит примерно 850 названий). В 1909 г. Швейцарское естественно-научное общество приступило к изданию полного собрания сочинений Эйлера, которое завершено в 1975 г.; оно состоит из 72 томов. Большой интерес представляет и колоссальная научная переписка Эйлера (около 3000 писем), до сих пор опубликованная лишь частично.

Необыкновенно широк был круг занятий Эйлера, охватывавших все отделы современной ему математики и механики, теорию упругости, математическую физику, оптику, теорию музыки, теорию машин, баллистику, морскую науку, страховое дело и т.д.

Около 3/5 работ Эйлера относятся к математике, остальные 2/5, преимущественно, к её приложениям. Свои результаты и результаты, полученные другими, Эйлер систематизировал в ряде классических монографий, написанных с поразительной ясностью и снабженных ценными примерами. Таковы, например, «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически» (т. 1–2, 1736), «Введение в анализ» (т. 1–2, 1748), «Дифференциальное исчисление» (1755), «Теория движения твёрдого тела» (1765), «Универсальная арифметика» (т. 1–2, 1768–1769), выдержавшая около 30 изданий на 6 языках, «Интегральное исчисление» (т. 1–3, 1768–1770, т. 4, 1794) и др.

В «Механике» Эйлер впервые изложил динамику точки при помощи математического анализа.

В 1-м томе этого сочинения рассмотрено свободное движение точки под действием различных сил, как в пустоте, так и в среде, обладающей сопротивлением;

во 2-м – движение точки по данной линии или по данной поверхности; большое значение для развития небесной механики имела глава о движении точки под действием центробежных сил. В 1744 г. он впервые корректно сформулировал механический принцип наименьшего действия и показал его первые применения. В «Теории движения твёрдого тела» Эйлер разработал кинематику и динамику твёрдого тела и дал уравнения его вращения вокруг неподвижной точки, положив начало теории гироскопов. В своей теории корабля Эйлер внёс ценный вклад в теорию устойчивости.

Значительны открытия Эйлера в небесной механике (например, в теории движения Луны), механике сплошных сред (основные уравнения движения идеальной жидкости в форме Эйлера и в т.н. переменных Лагранжа, колебания газа в трубах и пр.).

В оптике Эйлер дал (1747) формулу двояковыпуклой линзы, предложил метод расчёта показателя преломления среды. Эйлер придерживался волновой теории света. Он считал, что различным цветам соответствуют разные длины волн. Эйлер предложил способы устранения хроматической аберрации линз, и в 3-й части «Диоптрики» дал методы расчёта оптических узлов микроскопа. Обширный цикл работ, начатый в 1748, Эйлер посвятил математической физике: задачам о колебании струны, пластинки, мембраны и др.

Все эти исследования стимулировали развитие теории дифференциальных уравнений, приближённых методов анализа, специальных функций, дифференциальной геометрии и т. д.

Многие математические открытия Эйлера содержатся именно в этих работах.

Главным делом Эйлера как математика явилась разработка математического анализа. Он заложил основы нескольких математических дисциплин, которые только в зачаточном виде имелись или вовсе отсутствовали в исчислении бесконечно малых И. Ньютона, Г.В. Лейбница, Я. и И. Бернулли. Так, Эйлер первый ввёл функции комплексного аргумента («Введение в анализ», т. 1) и исследовал свойства основных элементарных функций комплексного переменного (показательные, логарифмические и тригонометрические функции); в частности, он вывел формулы, связывающие тригонометрические функции с показательной. Работы Эйлера в этом направлении положили начало теории функций комплексного переменного.

Эйлер явился создателем вариационного исчисления, изложенного в работе «Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума, либо минимума...» (1744). После работ Ж. Лагранжа Эйлер далее развил вариационное исчисление в «Интегральном исчислении» и ряде статей. Метод, с помощью которого Эйлер в 1744 вывел необходимое условие экстремума функционала (уравнение Эйлера), явился прообразом прямых методов вариационного исчисления XX века.

Эйлер создал, как самостоятельную дисциплину, теорию обыкновенных дифференциальных уравнений и заложил основы теории уравнений с частными производными. Здесь ему принадлежит огромное число открытий: классический способ решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами, метод вариации произвольных постоянных, выяснение основных свойств уравнения Риккати, интегрирование линейных уравнений с переменными коэффициентами с помощью бесконечных рядов, критерии особых решений, учение об интегрирующем множителе, различные приближённые методы и ряд приёмов решения уравнений с частными производными. Значительную часть этих результатов Эйлер собрал в своём «Интегральном исчислении».

Эйлер обогатил также дифференциальное и интегральное исчисление в узком смысле слова (например, учение о замене переменных, теорема об однородных функциях, понятие двойного интеграла и вычисление многих специальных интегралов).

В «Дифференциальном исчислении» Эйлер высказал и подкрепил примерами убеждение в целесообразности применения расходящихся рядов и предложил методы обобщённого суммирования рядов, предвосхитив идеи современной строгой теории расходящихся рядов, созданной на рубеже XIX и XX вв.

Кроме того, Эйлер получил в теории рядов множество конкретных результатов. Он открыл т. н. формулу суммирования Эйлера – Маклорена, предложил преобразование рядов, носящее его имя, определил суммы громадного количества рядов и ввёл в математику новые важные типы рядов (например, тригонометрические ряды). Сюда же примыкают исследования Эйлера по теории непрерывных дробей и других бесконечных процессов.

Эйлер является основоположником теории специальных функций. Он первым начал рассматривать синус и косинус как функции, а не как отрезки в круге. Им получены почти все классические разложения элементарных функций в бесконечные ряды и произведения. В его трудах создана теория гамма-функции. Он исследовал свойства эллиптических интегралов, гиперболических и цилиндрических функций, дзета-функции, некоторых тета-функций, интегрального логарифма и важных классов специальных многочленов.

По замечанию П.Л. Чебышева, Эйлер положил начало всем изысканиям, составляющим общую часть теории чисел, к которой относится свыше 100 мемуаров Эйлера. Так, Эйлер доказал ряд утверждений, высказанных П. Ферма (см., например, Ферма малая теорема), разработал основы теории степенных вычетов и теории квадратичных форм, обнаружил (но не доказал) квадратичный закон взаимности (см. Квадратичный вычет) и исследовал ряд задач диофантова анализа. В работах о разбиении чисел на слагаемые и по теории простых чисел Эйлер впервые использовал методы анализа, явившись тем самым создателем аналитической теории чисел. В частности, он ввёл дзета-функцию и доказал т. н. тождество Эйлера, связывающее простые числа со всеми натуральными.

Велики заслуги Эйлера и в других областях математики. В алгебре ему принадлежат работы о решении в радикалах уравнений высших степеней и об уравнениях с двумя неизвестными, а также т. н. тождество Эйлера о четырёх квадратах. Эйлер значительно продвинул аналитическую геометрию, особенно учение о поверхностях 2-го порядка.

В дифференциальной геометрии он детально исследовал свойства геодезических линий, впервые применил натуральные уравнения кривых, а главное, заложил основы теории поверхностей. Он ввёл понятие главных направлений в точке поверхности, доказал их ортогональность, вывел формулу для кривизны любого нормального сечения, начал изучение развёртывающихся поверхностей и т. д.; в одной посмертно опубликованной работе (1862) он частично предварил исследования К.Ф. Гаусса по внутренней геометрии поверхностей. Эйлер занимался и отдельными вопросами топологии и доказал, например, важную теорему о выпуклых многогранниках. Эйлера-математика нередко характеризуют как гениального «вычислителя». Действительно, он был непревзойдённым мастером формальных выкладок и преобразований, в его трудах многие математические формулы и символика получили современный вид (например, ему принадлежат обозначения для е и p). Однако, Эйлер был не только исключительной силы «вычислителем». Он внёс в науку ряд глубоких идей, которые ныне строго обоснованы и служат образцом глубины проникновения в предмет исследования.

По выражению П.С. Лапласа, Эйлер явился учителем математиков 2-й половины XVIII в.

От его работ непосредственно отправлялись в разнообразных исследованиях П.С. Лаплас, Ж.Л. Лагранж, Г. Монж, А.М. Лежандр, К.Ф. Гаусс, позднее О. Коши, М.В. Остроградский, П.Л. Чебышев и др. Русские математики высоко ценили творчество Эйлера, а деятели чебышевской школы видели в Эйлере своего идейного предшественника в его постоянном чувстве конкретности, в интересе к конкретным трудным задачам, требующим развития новых методов, в стремлении получать решения задач в форме законченных алгоритмов, позволяющих находить ответ с любой требуемой степенью точности. Всего за свою жизнь он создал около 850 трудов.